2018年高考全国卷1 理科数学

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设，则

A．B．C．D．

2．已知集合，则

A．B．

C．D．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．记为等差数列的前项和. 若，，则

A．B．C．D．

5．设函数. 若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A．B．C．D．

6．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则

A．B．

C．D．

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.

圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表

面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧

面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A．B．

C．D．

8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则

A．B．C．D．

9．已知函数 . 若存在2个零点，则的取值范围是

A．B．C．D．

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个

半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则

A．B．C．D．

11．已知双曲线，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N. 若为直角三角形，则

A．B．C．D．

12．已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为

A．B．C．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若，满足约束条件 则的最大值为          .

14．记为数列的前n项和. 若，则          .

15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有          种.（用数字填写答案）

16．已知函数，则的最小值是          .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

在平面四边形中，，，，.

（1）求；

（2）若，求.

18．（12分）

如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

19．（12分）

设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21．（12分）

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，，证明：.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的方程为. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.