2018年高考全国卷1 理科数学试题参考答案

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

1．C 2．B 3．A 4．B 5．D 6．A

7．B 8．D 9．C10．A11．B12．A

二、填空题

13．14．15．16．

三、解答题

17．解：

（1）在中，由正弦定理得.

由题设知，所以.

由题设知， 所以.

（2）由题设及（1）知，. 

在中，由余弦定理得

所以.

18．解：

（1）由已知可得，，，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）作，垂足为. 由（1）得，平面.

以为坐标原点，的方向为y轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）可得，. 又，，所以. 又，，故.

可得，.

则，, ，，为平面的法向量.

设与平面所成角为，则 .

所以与平面所成角的正弦值为.

19．解：

（1）由已知得，的方程为.

由已知可得，点A的坐标为或.

所以AM的方程为或.

（2）当l与x轴重合时，.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，，则，，直线MA，MB的斜率之和为.

由，得

.  

将代入得

.

所以，.

则.

从而，故MA，MB的倾斜角互补. 所以.

综上，.  

20．解：

（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为. 因此

        .

令，得. 当时，；当时，.所以的最大值点为.

（2）由（1）知，.

（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.

所以.

（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于，故应该对余下的产品作检验.

21．解：

（1）的定义域为，.

（ⅰ）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

（ⅱ）若，令得，或.

当时，；

当时，. 所以在，单调递减，在单调递增.

（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点，满足，所以，不妨设，则. 由于

，

所以等价于.

设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，即.  

22．解：

（1）由，得的直角坐标方程为

                 .                                   

（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆.

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线. 记轴右边的射线为，轴左边的射线为. 由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点.

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或. 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点.

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或. 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点.

综上，所求的方程为.

23．解：

（1）当时，，即

故不等式的解集为.

（2）当时成立等价于当时成立.

若，则当时；

若，的解集为，所以，故.

综上，的取值范围为.