2017年高考理科数学试题及答案

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

1．A2．B3．B 4．C 5．D 6．C

7．B8．D9．D10．A11．D12．A

二、填空题

13．14．15．16．

三、解答题

17．解：

（1）由题设得 ，即 .

由正弦定理得 .

故.

（2）由题设及（1）得 ，即.

所以 ，故.

由题设得，即 .

由余弦定理得 ，即，得 .

故的周长为. 

18．解：

（1）由已知，得，.

由于，故，从而平面.

又平面，所以平面平面.             

（2）在平面内作，垂足为.

由（1）可知，平面，故，可得平面.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

即

可取.

设是平面的法向量，则

即

可取 .

则 .

所以二面角的余弦值为.             

19．解：

（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为，从而零件的尺寸在之外的概率为，故. 因此

.

的数学期望为 .

（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率只有，发生的概率很小. 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.                                                                                                                                                                                                   

（ⅱ）由，，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.                                                                                                                             

剔除之外的数据，剩下数据的平均数为

，

因此的估计值为.

,

剔除之外的数据，剩下数据的样本方差为

，

因此的估计值为.

20．解：

（1）由于，两点关于轴对称，故由题设知C经过，两点.

又由知，C不经过点，所以点在C上.

因此 解得

故的方程为.

（2）设直线与直线的斜率分别为，.

如果与x轴垂直，设，由题设知，且，可得，的坐标分别为，.

则，得，不符合题设.

从而可设. 将代入得

.

由题设可知.

设，，则，.

而        

 ．

由题设知 ，故.

即  .

解得 .

当且仅当时，，于是，即 ，

所以l过定点．    

21．解：

（1）的定义域为，.

（ⅰ）若，则，所以在单调递减．

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．

（2）（ⅰ）若,由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

① 当时，由于，故只有一个零点；

② 当时，由于，即，故没有零点；

③ 当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

22．解：

（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由 解得 或

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当 时，的最大值为. 由题设得，所以；

当 时，的最大值为. 由题设得，所以.

综上， 或 . 

23．解：

（1）当时，不等式等价于

.     ①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

    当时，①式化为，从而.

所以的解集为.

（2）当时，.

所以的解集包含，等价于当时.

又在的最小值必为与之一，所以且，得.

所以a的取值范围为.