2014年湖北高考文数试卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数  学（文史类）

本试题卷共5页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知全集，集合，则

    A．                    B．                     C．                       D．

2．i为虚数单位，

A．1                           B．                        C．i                            D．

3．命题“，”的否定是

A．，                     B．， 

C．，                      D．，

4．若变量x，y满足约束条件 则的最大值是

A．2                 B．4                            C．7                           D．8

5．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为，点数之和大于5的概率记为，点数之和为偶数的概率记为，则

A．                      B．   

C．                                  D．

6．根据如下样本数据

得到的回归方程为，则

A．，                              B．，                  

C．，                                 D．，

7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），

（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为学科网

A．①和②                  B．③和①                    C．④和③                    D．④和②

8．设是关于t的方程的两个不等实根，则过,两点的直线与双曲线的公共点的个数为

A．0                  B．1                   C．2                        D．3

9．已知是定义在上的奇函数，当时，. 则函数

的零点的集合为

   A.                                                          B.       

   C.                                                           D.

10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式. 它实际上学科网是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3. 那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为

A．               B．                       C．                D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位    置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为        件.

12．若向量，，，

    则       .

13．在△ABC中，角，B，C所对的边分别为a，b，c.

    已知，=1，，则B =      .

14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为9，则输出的值为        .

15．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．

若，，则正实数的取值范围为    ．

16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的学科网

    车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、

    平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为.

（Ⅰ）如果不限定车型，，则最大车流量为        辆/小时；

（Ⅱ）如果限定车型，, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加      辆/小时.

17．已知圆和点，若定点和常数满足：对圆上任意一点，都有，则

   （Ⅰ）        ；  

   （Ⅱ）        .

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（本小题满分12分）

某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：

，.

（Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度；

（Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.

19．（本小题满分12分）

    已知等差数列满足：，且，，成等比数列.

   （Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数n，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

如图，在正方体中，，，P，Q，M，N分别是棱，，，

，，的中点. 求证：

（Ⅰ）直线∥平面；

（Ⅱ）直线⊥平面.

21．（本小题满分14分）

为圆周率，为自然对数的底数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数.

22．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1．记点M的

轨迹为C.

（Ⅰ）求轨迹的方程；

（Ⅱ）设斜率为的直线过定点. 求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题：

1．C   2．B   3．D   4．C   5．C   6．A   7．D   8．A   9．D   10．B

二、填空题：

11．1800         12．        13．或      14．1067      

15．       16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100      17．（Ⅰ）；（Ⅱ）

三、解答题：

18．（Ⅰ）                     

        .

     故实验室上午8时的温度为10 ℃.                                          

（Ⅱ）因为，

又，所以，.                        

当时，；当时，.

于是在上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.                

19．（Ⅰ）设数列的公差为，依题意，，，成等比数列，故有学科网

，                                              

化简得，解得或.         

当时，；

当时，，

从而得数列的通项公式为或.                               

（Ⅱ）当时，. 显然，

此时不存在正整数n，使得成立.                                     

当时，.        

令，即，           

解得或（舍去），

此时存在正整数n，使得成立，n的最小值为41.                        

综上，当时，不存在满足题意的n；

当时，存在满足题意的n，其最小值为41.                             

20．证明：

（Ⅰ）连接AD1，由是正方体，知AD1∥BC1，

      因为，分别是，的中点，所以FP∥AD1.                    

      从而BC1∥FP.                   

而平面，且平面，

故直线∥平面．                                                    

（Ⅱ）如图，连接，，则.

由平面，平面，可得.

又，所以平面.                                      

而平面，所以.                                    

因为M，N分别是，的中点，所以MN∥BD，从而.     

同理可证. 又，所以直线⊥平面.                  

21.（Ⅰ）函数的定义域为．因为，所以．    

        当，即时，函数单调递增；

        当，即时，函数单调递减．

        故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．         

（Ⅱ）因为，所以，，即，．

于是根据函数，，在定义域上单调递增，可得

，．

故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中．             

由及（Ⅰ）的结论，得，即．

由，得，所以；

由，得，所以．

综上，6个数中的最大数是，最小数是．                           

22．（Ⅰ）设点，依题意得，即，

化简整理得.                       

故点M的轨迹C的方程为                                  

（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记，.

依题意，可设直线的方程为

由方程组  可得     ①

（1）当时，此时 把代入轨迹C的方程，得.

故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.

（2）当时，方程①的判别式为.         ②

设直线与轴的交点为，则

由，令，得.              ③

（ⅰ）若 由②③解得，或.

即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，学科网

故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.                                       

（ⅱ）若 或 由②③解得，或.

即当时，直线与只有一个公共点，与有一个公共点.

当时，直线与有两个公共点，与没有公共点.

故当时，直线与轨迹恰好有两个公共点.                    

（ⅲ）若 由②③解得，或.

即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，

故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.              

综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点。